Question

如图所示，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱长和底面边长都是a，截面AB₁C和截面A₁BC₁相交于DE，求四面体B-B₁DE的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：

分析：由VA-BB1C=VB1-ABC，得S△B1EB=

1

2

S△BB1C，且A到面BB₁C的距离h为D到面B₁EB的2倍，由此能求出四面体B-B₁DE的体积．

解答： 解：VA-BB1C=VB1-ABC=

1

3

S_△ABC•B₁B=

1

3

•

3

4

a2•a₌

3

12

a3．
由条件知，D、E分别为AB₁和CB₁的中点，
∴S△B1EB=

1

2

S△BB1C，且A到面BB₁C的距离h为D到面B₁EB的2倍，即D到B₁EB的距离为

1

2

h．
∵VD-B1EB=

1

3

S△B1EB•

1

2

h
=

1

3

•(S△BB1E•

1

2

)•

1

2

h
=

1

4

•

1

3

S△BB1C•h
=

1

4

VA-BB1C
=

1

4

•

3

12

a3
=

3

48

a3．
∴VD-B1EB=

3

48

a3．

点评：本题考查四面体的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．