Question

1．已知A（2，0），直线4x+3y+1=0被圆C：（x+3）²+（y-m）²=13（m＜3）所截得的弦长为4$\sqrt{3}$，且P为圆C上任意一点．
（1）求|PA|的最大值与最小值；
（2）圆C与坐标轴相交于三点，求以这三个点为顶点的三角形的内切圆的半径．

Answer 1

分析 （1）利用直线4x+3y+1=0被圆C：（x+3）²+（y-m）²=13（m＜3）所截得的弦长为4$\sqrt{3}$，求出m，即可求|PA|的最大值与最小值；
（2）求出圆C与坐标轴相交于三点的坐标，再求以这三个点为顶点的三角形的内切圆的半径．

解答 解：（1）∵直线4x+3y+1=0被圆C：（x+3）²+（y-m）²=13（m＜3）所截得的弦长为4$\sqrt{3}$，
∴圆心到直线的距离d=$\frac{|-12+3m+1|}{5}$=1，
∵m＜3，∴m=2，
∴AC=$\sqrt{29}$，
∴|PA|的最大值与最小值分别为$\sqrt{29}$+$\sqrt{13}$，$\sqrt{29}$-$\sqrt{13}$；
（2）由（1）可得圆的方程：（x+3）²+（y-2）²=13，
令x=0，则y=0或4，令y=0，则x=0或-6，
∴圆C与坐标轴相交于三点M（0，4），O（0，0），B（-6，0），
∴△MON为直角三角形，斜边|MN|=2$\sqrt{13}$，内切圆的半径为$\frac{4+6-2\sqrt{13}}{2}$=5-$\sqrt{13}$．

点评 本题考查直线与圆位置关系的运用，考查内切圆半径的求解，考查学生的计算能力，属于中档题．