题目内容

13．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}x+1，x≤1}\\{lnx，x＞1}\end{array}\right.$，若方程f（x）-ax=0恰有两个不同的根，则实数a的取值范围是（　　）
A．（0，$\frac{1}{3}$）B．[$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{e}$）C．（$\frac{1}{e}$，$\frac{4}{3}$]D．（-∞，0]∪[$\frac{4}{3}$，+∞）

分析 由题意，方程f（x）=ax恰有两个不同实数根，等价于y=f（x）与y=ax有2个交点，又a表示直线y=ax的斜率，求出a的取值范围．

解答 解：∵方程f（x）-ax=0恰有两个不同实数根，
∴y=f（x）与y=ax有2个交点，
又∵a表示直线y=ax的斜率，
∴x＞1时，y′=$\frac{1}{x}$，
设切点为（x0，y0），k=$\frac{1}{{x}_{0}}$，
∴切线方程为y-y0=$\frac{1}{{x}_{0}}$（x-x0），
而切线过原点，∴y0=1，x0=e，k=$\frac{1}{e}$，
∴直线l1的斜率为$\frac{1}{e}$，
又∵直线l2与y=$\frac{1}{3}$x+1平行，
∴直线l2的斜率为$\frac{1}{3}$，
∴实数a的取值范围是[$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{e}$）
故选：B．

点评 本题考查了函数的图象与性质的应用问题，考查函数与方程的关系，是易错题．

练习册系列答案
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