Question

16．已知平行四边形ABCD中，AB=6，AD=10，BD=8，E是线段AD的中点．沿BD将△BCD翻折到△BC'D，使得平面BC'D⊥平面ABD．
（1）求证：C′D⊥平面ABD；
（2）求二面角D-BE-C′的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推导出C'D⊥BD，由此能证明C′D⊥平面ABD．
（2）由（1）知C′D⊥平面ABD，且CD⊥BD，以D为原点，DB，CD，DC′所在直线分别为x，y，z轴建立的空间直角坐标系D-xyz，利用同量法能求出二面角D-BE-C'的余弦值．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）由题意可知C'D=CD=6，BC'=BC=10，BD=8，
即BC'²=C'D²+BD²，故C'D⊥BD．                                               …（2分）
因为平面BC'D⊥平面ABD，平面BC'D∩平面ABD=BD，
C′D?平面BC′D，所以C′D⊥平面ABD．    …（5分）
（2）由（1）知C′D⊥平面ABD，且CD⊥BD，以D为原点，
DB，CD，DC′所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，
则d（0，0，0），A（8，6，0），B（8，0，0），C'（0，0，6）．
由于E是线段AD的中点，所以E（4，3，0），$\overrightarrow{BD}=（-8，0，0）$．
在平面BEC'中，$\overrightarrow{BE}=（-4，3，0）$，$\overrightarrow{BC'}=（-8，0，6）$，
设平面BEC'的法向量为n=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{BE}•n=0\\ \overrightarrow{BC'}•n=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}-4x+3y=0\\-8x+6z=0\end{array}\right.$，令x=3，得y=4，z=4，
所以平面BEC'的一个法向量为n=（3，4，4）．                 …（9分）
而平面DBE的一个法向量为$\overrightarrow{DC'}=（0，0，6）$…（10分）
故$cos\left?{n，\overrightarrow{DC'}}\right＞=\frac{{n•\overrightarrow{DC'}}}{{|n|•|\overrightarrow{DC'}|}}=\frac{{4\sqrt{41}}}{41}$，
由图易知二面角D-BE-C'的平面角为锐角，所以二面角D-BE-C'的余弦值为$\frac{{4\sqrt{41}}}{41}$．      …（12分）

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合、化归与转化思想，是中档题．