Question

13．如图所示，四棱锥P-ABCD，平面PAB⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形．点M是棱PC的中点．
（1）求证：PB⊥CB．
（2）记平面ADM与平面PBC的交线是l，试判断直线l与BC的位置关系，并加以证明．
（3）若CD的中点是E，平面PAB上的动点F满足EF∥平面ADM，求在△PAB内满足条件的所有的点F构成的图形．

Answer 1

分析 （1）由平面PAB⊥平面ABCD，CB⊥AB，可得CB⊥平面PAB，即PB⊥CB；
（2）直线l∥BC．根据线面平行的判定与性质可以证明；
（3）取AB中点H，NB中点G，易得EH∥AD，HG∥AN，即可得平面ADM∥平面EHG，可得在△PAB内满足条件的所有的点F构成的图形时线段．

解答 解：（1）∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，
CB?平面ABCD，CB⊥AB，∴CB⊥平面PAB，
又PB?平面PAB，∴PB⊥CB，
（2）直线l∥BC．
证明：∵AD∥BC，AD?平面PBC，CB?平面PBC，
∴AD∥平面PBC，
又因为平面ADM∩平面PBC=l，AD?平面ADM，
∴AD∥l∥BC，（如图，∵点M是棱PC的中点，取PB中点N，则MN就是交线l），
（3）取AB中点H，NB中点G，易得EH∥AD，HG∥AN，
即可得平面ADM∥平面EHG，
则点F在线段HG上，∴在△PAB内满足条件的所有的点F构成的图形时线段．
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点评 本题考查了线线平行的判定、线面平行的判定与性质，属于中档题．