Question

5．如图，四棱锥中，AB∥CD，BC⊥CD侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1．
（1）证明：SD⊥平面SAB；
（2）求二面角A-SB-C的平面角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）取AB的中点E，连结DE，SE，则四边形BCDE为矩形，推导出SD⊥SA，SD⊥SE，由此能证明SD⊥平面SAB．
（2）过点S作SG⊥DE于G，推导出AB⊥平面SDE，从而平面SDE⊥平面ABCD，进而SG⊥平面ABCD，过点A作AH⊥平面SBC于H，取SB中点F，连结AF，FH，则∠AFH为二面角A-SB-C的平面角，由此能求出二面角A-SB-C的平面角的正弦值．

解答 证明：（1）取AB的中点E，连结DE，SE，则四边形BCDE为矩形．
即DE=CB=2，AD=$\sqrt{D{E}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵侧面SAB为等边三角形，∴SA=SB=AB=2，且SE=$\sqrt{3}$，
又∵SD=1，∴SA²+SD²=AD²，SE²+SD²=ED²，
∴SD⊥SA，SD⊥SE，而SA?面SAB，SE?面SAB，SA∩SE=S，
∴SD⊥平面SAB．------（5分）
解：（2）过点S作SG⊥DE于G，
∵AB⊥SE，AB⊥DE，SE∩DE=E，∴AB⊥平面SDE，
又∵AB⊥平面ABCD，∴平面SDE⊥平面ABCD，
由平面与平面垂直的性质，知SG⊥平面ABCD，
在Rt△DSE中，由SD•SE=DE•SG，得1×$\sqrt{3}$=2×SG，∴SG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
过点A作AH⊥平面SBC于H，取SB中点F，连结AF，FH，
则∠AFH为二面角A-SB-C的平面角，
∵CD∥AB，AB⊥平面SDE，∴CD⊥平面SDE，∴CD⊥SD，
在Rt△CDS中，由CD=SD=1，得SC=$\sqrt{2}$．
在△SBC中，SB=BC=2，SC=$\sqrt{2}$，
∴${S}_{△SBC}=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{{2}^{2}-（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$．
由V_A-SBC=V_S-ABC，得$\frac{1}{3}{S}_{△SBC}•AH=\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•SG$，
即$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{7}}{2}×AH=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2\sqrt{2}$，解得AH=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$，
∴sin∠AFH=$\frac{AH}{AF}$=$\frac{2\sqrt{21}}{7\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，
∴二面角A-SB-C的平面角的正弦值为$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．---（12分）

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方思想、数形结合思想，是中档题．