Question

3．设函数f（x）=|2x-1|-|x+1|
（Ⅰ）解不等式f（x）＞2x-1；
（Ⅱ）若存在实数x，使得不等式f（x）≤$\frac{{t}^{2}}{2}$-t-3成立，求t的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过讨论x的范围求出不等式的解集即可；（Ⅱ）求出f（x）的最小值，问题转化为关于t的不等式，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x+2，x＜-1}\\{-3x，-1≤x≤\frac{1}{2}}\\{x-2，x≥\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
所以f（x）＞2x-1?$\left\{\begin{array}{l}{x＜-1}\\{-x+2＞2x-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-1≤x≤\frac{1}{2}}\\{-3x＞2x-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x≥\frac{1}{2}}\\{x-2＞2x-1}\end{array}\right.$，
解得x＜-1或-1≤x＜$\frac{1}{5}$，
所以原不等式解解为{x|x＜$\frac{1}{5}$}；
（Ⅱ）依题意可知，f（x）_min≤$\frac{{t}^{2}}{2}$-t-3，
由（Ⅰ）可知连续函数f（x）在（-∞，-1）和[-1，$\frac{1}{2}$]上是减函数，在（$\frac{1}{2}$，+∞）上是增函数，
所以f（x）_min=f（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{3}{2}$，
所以$\frac{{t}^{2}}{2}$-t-3≥-$\frac{3}{2}$及t²-2t-3≥0，
解得t的取值范围为{t|t≤-3或t≥1}．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．