Question

1．设命题p：实数x满足x²-4ax+3a²＜0，其中a＞0；命题q：实数x满足|x-3|≤1．
（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）若a=1，分别求出p，q成立的等价条件，利用且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2）利用￢p是￢q的充分不必要条件，即q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

解答 解：（1）由x²-4ax+3a²＜0得（x-3a）（x-a）＜0
当a=1时，1＜x＜3，
即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3．
由|x-3|≤1，得-1≤x-3≤1，得2≤x≤4，
即q为真时实数x的取值范围是2≤x≤4，
若p∧q为真，则p真且q真，
所以实数x的取值范围是2≤x＜3．
（2）由x²-4ax+3a²＜0得（x-3a）（x-a）＜0，?p是?q的充分不必要条件，
即?p⇒?q，且?q⇒?p，设A={x|?p}，B={x|?q}，则A?B，
又A={x|?p}={x|x≤a或x≥3a}，B={x|?q}={x|x＞4 或 x＜2}，
则3a＞4且a＜2，其中a＞0，
所以实数a的取值范围是$\frac{4}{3}＜a＜2$．

点评 本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用逆否命题的等价性将￢p是￢q的充分不必要条件，转化为q是p的充分不必要条件是解决本题的关键，