Question

7．已知递增数列{a_n}对任意n∈N*均满足a_n∈N*，a_an=3n，记${b_n}={a_{2•{3^{n-1}}}}$（n∈N*），则数列{b_n}的前n项和等于（　　）

• A． 2ⁿ+n
• B． 2ⁿ⁺¹-1
• C． $\frac{{{3^{n+1}}-3n}}{2}$
• D． $\frac{{{3^{n+1}}-3}}{2}$

Answer 1

分析 利用数列{a_n}为递增数列，a_n∈N*，a_an=3n，通过对a₁=1、2、3分类讨论，求得a₁=2，a₂=3，a₃=6，…，再由${b_n}={a_{2•{3^{n-1}}}}$（n∈N*），可进一步求得b₁、b₂、b₃、b₄，…，从而猜想得到数列{b_n}的通项公式，继而可得其前n项和．

解答 解：${a_{a_1}}=3⇒{a_1}≤3$，讨论：
若${a_1}=1⇒{a_{a_1}}={a_1}=1$，不合；
若a₁=2⇒a₂=3；
若${a_1}=3⇒{a_{a_1}}={a_3}=3$，不合；
即a₁=2，a₂=3，${a_{a_2}}=6⇒{a_3}=6$，
所以${a_{a_3}}=9⇒{a_6}=9$，
所以${a_9}={a_{a_6}}=18$，${a_{18}}={a_{a_9}}=27$，${a_{27}}={a_{{a_{18}}}}=54$，${a_{54}}={a_{{a_{27}}}}=81$，
猜测${b_n}={3^n}$，所以数列{b_n}的前n项和等于$\frac{{3-{3^{n+1}}}}{1-3}=\frac{{{3^{n+1}}-3}}{2}$．
故选：D．

点评 本题考查数列递推关系的应用，求得a₁=2，a₂=3是关键，考查分类讨论思想与归纳推理能力，属于难题．