Question

17．在平面直角坐标系xoy中，过M（2，1）的直线l的倾斜角为$\frac{π}{4}$，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，圆C的极坐标方程为ρ=4$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）．
（1）求直线l的参数方程与圆C的直角坐标方程；
（2）设圆C与直线l交于A，B两点，求$\frac{1}{|MA|}$+$\frac{1}{|MB|}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用过M（2，1）的直线l的倾斜角为$\frac{π}{4}$，求直线l的参数方程，利用极坐标方程与直角坐标方程的转化方法，求出圆C的直角坐标方程；
（2）参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）代入x²+y²-4x-4y=0，整理可得${t}^{2}-\sqrt{2}t-7=0$，利用参数的几何意义，求$\frac{1}{|MA|}$+$\frac{1}{|MB|}$的值．

解答 解：（1）过M（2，1）的直线l的倾斜角为$\frac{π}{4}$，参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），
圆C的极坐标方程为ρ=4$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），即ρ=4sinθ+4cosθ
∴两边都乘以ρ，得ρ²=4ρsinθ+4ρcosθ
可得圆C的普通方程是：x²+y²=4x+4y，即x²+y²-4x-4y=0；
（2）参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）代入x²+y²-4x-4y=0，整理可得${t}^{2}-\sqrt{2}t-7=0$
设A、B对应的参数分别为t₁、t₂，则t₁+t₂=$\sqrt{2}$，t₁t₂=-7，
∴$\frac{1}{|MA|}$+$\frac{1}{|MB|}$=$\frac{|{t}_{1}-{t}_{2}|}{|{t}_{1}{t}_{2}|}$=$\frac{\sqrt{2+28}}{7}$=$\frac{\sqrt{30}}{7}$，

点评 本题着重考查了直线的参数方程、圆的极坐标方程和参数方程、极坐标方程与普通方程互化等知识点，属于中档题．