Question

15．已知A，B为抛物线E：y²=2px（p＞0）上异于顶点O的两点，△AOB是等边三角形，其面积为48$\sqrt{3}$，则p的值为（　　）

• A． 2
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． 4
• D． 4$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 设B（x₁，y₁），A（x₂，y₂），由于|OA|=|OB|，可得x₁²+y₁²=x₂²+y₂²．代入化简可得：x₁=x₂．由抛物线对称性，知点B、A关于x轴对称．不妨设直线OB的方程为：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，与抛物线方程联立解出即可得出．

解答 解：设B（x₁，y₁），A（x₂，y₂），
∵|OA|=|OB|，∴x₁²+y₁²=x₂²+y₂²．
又∵y₁²=2px₁，y₂²=2px₂，
∴x₂²-x₁²+2p（x₂-x₁）=0，
即（x₂-x₁）（x₁+x₂+2p）=0．
又∵x₁、x₂与p同号，∴x₁+x₂+2p≠0．
∴x₂-x₁=0，即x₁=x₂．
由抛物线对称性，知点B、A关于x轴对称．
不妨设直线OB的方程为：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
联立y²=2px，解得B（6p，2$\sqrt{3}$p）．
∵面积为48$\sqrt{3}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{4}•（4\sqrt{3}p）^{2}$=48$\sqrt{3}$，∴p=2
故选A．

点评 本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题、等边三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．