Question

18．若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”，现从0，1，2，3，4，5，6，7，这个数字中任取3个，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有91个（用数字作答）

Answer 1

分析 根据题意，分2种情况讨论：①、取出的3个数字中不含0，先在1，2，3，4，5，6，7中任取3个数，再分析每种取法的“伞数”数目，由分步计数原理可得此时的“伞数”数目，②、取出的3个数字中含有0，同①可得其“伞数”数目，由分类计数原理计算可得答案．

解答 解：根据题意，分2种情况讨论：
①、取出的3个数字中不含0，
先在1，2，3，4，5，6，7中任取3个数，有C₇³=35种取法，
把最大的数放在十位，剩下的2个数全排列，放在百位、个位，有A₂²=2种情况，
则此时一共有35×2=70个“伞数”，
②、取出的3个数字中含有0，
需要在1，2，3，4，5，6，7中任取2个数，有C₇²=21种取法，
把最大的数放在十位，0放在个位，剩下的数放在百位，有1种情况，
则此时一共有21×1=21个“伞数”，
则一共有70+21=91个“伞数”，
故答案为：91．

点评 本题考查排列、组合的应用，注意0不能在百位，需要对0进行分类讨论．