Question

17．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}{x^2}$+mx+mlnx．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）当m＞0时，若对于区间[1，2]上的任意两个实数x₁，x₂，且x₁＜x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|＜x₂²-x₁²成立，求实数m的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求导，再分类讨论，根据导数和函数的单调性的关系即可解决，
（Ⅱ）根据题意可得f（x₂）-x₂²）＜f（x₁）-x₁²，构造函数，再求导，再分离参数，利用导数求出函数的最值即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=$\frac{1}{2}{x^2}$+mx+mlnx的定义域为（0，+∞），
∴f′（x）=x+m+$\frac{m}{x}$=$\frac{{x}^{2}+mx+m}{x}$，
当m≥0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，
当m＜0时，方程x²+mx+m=0的判别式为△=m²-4m＞0，
令f′（x）＞0，解得x＞$\frac{-m+\sqrt{{m}^{2}-4m}}{2}$，令f′（x）＜0，解得0＜x＜$\frac{-m+\sqrt{{m}^{2}-4m}}{2}$，
∴当m＜0时，f（x）在（$\frac{-m+\sqrt{{m}^{2}-4m}}{2}$，+∞）单调递增，在（0，$\frac{-m+\sqrt{{m}^{2}-4m}}{2}$）上单调递减，
（Ⅱ）当m＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，
∵[1，2]?（0，+∞），
∴函数f（x）在[1，2]上单调递增，
∵x₁＜x₂，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，
由题意可得f（x₂）-f（x₁）＜x₂²-x₁²，
整理可得f（x₂）-x₂²）＜f（x₁）-x₁²，
令g（x）=f（x）-x²=-$\frac{1}{2}{x^2}$+mx+mlnx，
则g（x）在[1，2]上单调递减，
∴g′（x）=-x+m+$\frac{m}{x}$=$\frac{-{x}^{2}+mx+m}{x}$≤0恒成立，
∴m≤$\frac{{x}^{2}}{1+x}$，
令h（x）=$\frac{{x}^{2}}{1+x}$，
则h′（x）=$\frac{2x（1+x）-{x}^{2}}{（1+x）^{2}}$=$\frac{{x}^{2}+2x}{（1+x）^{2}}$＞0，
∴h（x）在[1，2]上单调递增，
∴h（x）_min=h（1）=$\frac{1}{2}$，
∴m≤$\frac{1}{2}$

点评 本题考查了导数和函数的单调性和和最值的关系，考查了的学生的运算能力和转化能力和分类讨论的能力，属于中档题