Question

5．已知角α（0＜α＜$\frac{π}{2}$）的终边经过点（cos2β，1+sin3βcosβ-cos3βsinβ），（$\frac{π}{2}$＜β＜π，且β≠$\frac{3π}{4}$），则α-β=（　　）

• A． -$\frac{7π}{4}$
• B． -$\frac{3π}{4}$
• C． -$\frac{π}{4}$
• D． $\frac{5π}{4}$

Answer 1

分析 利用两角差的正弦化简点P（cos2β，1+sin3βcosβ-cos3βsinβ），求出P到原点的距离，再由任意角的三角函数的定义列式，结合0≤α＜$\frac{π}{2}$得到β的具体范围，把定义式化简，作和后平方得到sin2α=cos2β=sin（$\frac{π}{2}$-2β）．最后结合已知角的范围求得α-β的值．

解答 解：点P（cos2β，1+sin3βcosβ-cos3βsinβ），即点P（cos2β，1+sin2β），
∴|OP|=$\sqrt{2}$|sinβ+cosβ|．
由题意可得cosα＞0，sinα≥0．
∵β∈（$\frac{π}{2}$，π），∴2β∈（π，2π），由cos2β＞0，知2β∈（$\frac{3π}{2}$，2π），则β∈（$\frac{3π}{4}$，π），
∴sinβ+cosβ＜0．
则cosα=-$\frac{co{s}^{2}β-si{n}^{2}β}{\sqrt{2}（cosβ+sinβ）}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（cosβ-sinβ）①，
sinα=-$\frac{（sinβ+cosβ）^{2}}{\sqrt{2}（sinβ+cosβ）}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sinβ+cosβ） ②，
由①得，cosβ-sinβ=-$\sqrt{2}$cosα，
由②得，cosβ+sinβ=-$\sqrt{2}$sinα，
两式作和得：2cosβ=-$\sqrt{2}$（sinα+cosα），
两边平方并整理得：sin2α=cos2β=sin（$\frac{π}{2}$-2β）．
∵0≤α＜$\frac{π}{2}$，∴2α∈[0，π），又2β∈（$\frac{3π}{2}$，2π），
∴$\frac{π}{2}$-2β+2α=-π，则α-β=-$\frac{3π}{4}$．
故选：B．

点评 本题考查任意角的三角函数的定义，考查同角三角函数基本关系式的应用，考查学生灵活解决问题和处理问题的能力，属有一定难度题目．