题目内容
15．已知二次函数f（x）满足f（x+1）-f（x）=2x（x∈R），且f（0）=1．（1）求f（x）的解析式；
（2）当x∈[-2，4]时，求f（x）的值域．
分析 91）要求二次函数的解析式，利用直接设解析式的方法，一定要注意二次项系数不等于零，在解答的过程中使用系数的对应关系，解方程组求的结果；
（2）f（x）=x2-x+1在∈[-2，$\frac{1}{2}$]上递减，在[$\frac{1}{2}$，4]递增，即可求值域．
解答 解：设二次函数的解析式为f（x）=ax2+bx+c （a≠0）
由f（0）=1得c=1，
故f（x）=ax2+bx+1．
因为f（x+1）-f（x）=2x，
所以a（x+1）2+b（x+1）+1-（ax2+bx+1）=2x．
即2ax+a+b=2x，即2a=2，a+b=0∴a=1，b=-1
所以f（x）=x2-x+1
（2）f（x）=x2-x+1在∈[-2，$\frac{1}{2}$]上递减，在[$\frac{1}{2}$，4]递增，
∴f（x）min=f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{3}{4}$，f（x）max=f（4）=13
∴f（x）的值域为[$\frac{3}{4}$，13]
点评 本题考查二次函数的解析式的求法，注意运用待定系数法，考查二次函数的值域的求法，注意运用函数的单调性，属于基础题．
练习册系列答案
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| A． | -$\frac{7π}{4}$ | B． | -$\frac{3π}{4}$ | C． | -$\frac{π}{4}$ | D． | $\frac{5π}{4}$ |
6．下列不等式中，正确的是（ ）
| A． | 若x∈R，则$x+\frac{4}{x}≥4$ | B． | 若x∈R，则${x^2}+2+\frac{1}{{{x^2}+2}}≥2$ | ||
| C． | 若x∈R，则${x^2}+1+\frac{1}{{{x^2}+1}}≥2$ | D． | 若a、b为正实数，则$\frac{{\sqrt{a}+\sqrt{b}}}{2}≥\sqrt{ab}$ |
