Question

在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC．
（1）求A的大小；
（2）求cosB+cosC的范围．

Answer 1

考点：正弦定理

专题：计算题,解三角形

分析：（1）由正弦定理得2a²=（2b+c）b+（2c+b）c，即a²=b²+c²+bc，由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA求出A=120°
（2）根据三角形的内角和为180°，将C用B表示得到cosB+cosC=cosB+cos（60°-B）=cosB+cos60°cosB+sin60°sinB=

3

sin(60°+B)，结合三角函数的图象求出范围．

解答： 解：（1）∵2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC．
由正弦定理得2a²=（2b+c）b+（2c+b）c，
即a²=b²+c²+bc，
由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA
∴cosA=-

1

2

，
∴A=120°
（2）cosB+cosC
=cosB+cos（60°-B）
=cosB+cos60°cosB+sin60°sinB
=

3

2

cosB+

1

2

sinB=

3

sin(60°+B)
∵0°＜B＜60°
∴60°＜60°+B＜120°
∴

3

2

＜cosB+cosC＜

3

cosB+cosC的范围(

3

2

，

3

)

点评：本题考查三角形中的正弦定理、余弦定理及它们的应用；考查求三角函数的取值范围，属于一道中档题．