Question

△ABC中，三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若B=60°，a=（

3

-1）c．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）已知△ABC的面积为12+4

3

，求函数f（x）=cos2x+asinx的最大值．

Answer 1

考点：正弦定理,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）由B的度数表示出A+C的度数，用A表示出C，已知等式利用正弦定理化简，将表示出的C代入利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后得到tanA=1，即可确定出角A的大小；
（Ⅱ）利用三角形面积公式列出关系式，将表示出的c，sinB以及已知面积代入求出a的值，代入f（x）解析式中化简，利用二次函数的性质及正弦函数的值域即可确定出最大值．

解答： 解：（Ⅰ）∵B=60°，∴A+C=120°，即C=120°-A，
∵a=（

3

-1）c，由正弦定理可得：sinA=（

3

-1）sinC，
sinA=（

3

-1）sin（120°-A）=（

3

-1）（

3

2

cosA+

1

2

sinA），
整理得：

3

2

cosA+

3

2

sinA-

3

2

cosA-

1

2

sinA=sinA，
即

3- 3

2

cosA=

3- 3

2

sinA，
即sinA=cosA，
∴tanA=1，
则A=45°； 
（Ⅱ）∵S_△ABC=

1

2

acsinB=12+4

3

，c=

a

3 -1

，sinB=

3

2

，
∴

1

2

•

a2

3 -1

•

3

2

=12+4

3

，
解得：a=4

2

，
∴f（x）=1-2sin²x+4

2

sinx=-2（sinx-

2

）²+5，
则当sinx=1时，函数f（x）取得最大值4

2

-1．

点评：此题考查正弦定理，三角形面积公式，两角和与差的正弦函数公式，二次函数的性质，以及正弦函数的值域，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．