Question

在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，且a=4

3

，b=3

2

，∠A=2∠B．
（Ⅰ）求cosB的值；
（Ⅱ）求c的值．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）利用正弦定理列出关系式，将a，b，∠A=2∠B代入，化简即可求出cosB的值；
（Ⅱ）由cosB的值，及B为三角形内角，利用同角三角函数间基本关系求出sinB的值，根据∠A=2∠B，得到cosA=cos2B，利用二倍角的余弦函数公式化简求出cosA的值，进而求出sinA的值，由sinC=sin（A+B），利用两角和与差的正弦函数公式公式求出sinC的值，利用正弦定理即可求出c的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵a=4

3

，b=3

2

，∠A=2∠B，
∴在△ABC中，由正弦定理得

4 3

sin2B

=

3 2

sinB

，
变形得：

2sinBcosB

sinB

=

2 6

3

，
则cosB=

6

3

；
（Ⅱ）得（Ⅰ）cosB=

6

3

，且∠B为三角形内角，
∴sinB=

1-cos2B

=

3

3

，
又∠A=2∠B，
∴cosA=cos2B=2cos²B-1=

1

3

，
∴sinA=

1-cos2A

=

2 2

3

，
在△ABC中，sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=

5 3

9

，
则c=

asinC

sinA

=

4 3 × 5 3 9

2 2 3

=5

2

．

点评：此题考查了正弦定理，同角三角函数间的基本关系，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．