题目内容
如图，在平面直角坐标系中，锐角α，β的终边分别与单位圆交于A、B两点．（Ⅰ）如果点A的纵坐标为
| 3 |
| 5 |
| 5 |
| 13 |
（Ⅱ）已知点C（2
| 3 |
| OA |
| OC |
| 2 |
考点：两角和与差的余弦函数,任意角的三角函数的定义
专题：三角函数的求值
分析：（I）由题意分别可得锐角α，β的正余弦值，代入两角差的余弦公式可得；（II）由条件可得cos(α+
)=
，结合角的范围可得．
| π |
| 6 |
| ||
| 2 |
解答：
解：（I）∵点A的纵坐标为
，点B的横坐标为
，
∴sinα=
，cosβ=
，
∵α，β为锐角，∴cosα=
，sinβ=
，
∴cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=
×
+
×
=
（II）∵
•
=(cosα，sinα)•(2
，-2)=2
cosα-2sinα=4cos(α+
)，
∴4cos(α+
)=2
，
∴cos(α+
)=
，
∵α+
∈(
，
)，
∴α+
=
，解得α=
| 3 |
| 5 |
| 5 |
| 13 |
∴sinα=
| 3 |
| 5 |
| 5 |
| 13 |
∵α，β为锐角，∴cosα=
| 4 |
| 5 |
| 12 |
| 13 |
∴cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=
| 4 |
| 5 |
| 5 |
| 13 |
| 3 |
| 5 |
| 12 |
| 13 |
| 56 |
| 65 |
（II）∵
| OA |
| OC |
| 3 |
| 3 |
| π |
| 6 |
∴4cos(α+
| π |
| 6 |
| 2 |
∴cos(α+
| π |
| 6 |
| ||
| 2 |
∵α+
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 2π |
| 3 |
∴α+
| π |
| 6 |
| π |
| 4 |
| π |
| 12 |
点评：本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及三角函数的定义和数量积的运算，属中档题．
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