Question

设二次函数f（x）=ax²+bx+c，方程f（x）=x的解集为集合A．
（1）若A={1，2}，且f（0）=2，求f（x）；
（2）若A={1}，且a≥1，求f（x）在区间[-2，2]上的最大值（用a表示）

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由f（0）=2可得：c=2，由A={1，2}可得：1，2中方程f（x）=x的根，即方程ax²+（b-1）x+2=0的根，由韦达定理可得a，b的值，进而得到二次函数f（x）的解析式；
（2）由A={1}得：方程f（x）=x的有两等根，即方程ax²+（b-1）x+c=0有两等根，由韦达定理可得a，b，c的关系，进而结合a≥1，可得函数图象的对称轴x=

2a-1

2a

∈[

1

2

，1），故f（x）在区间在区间[-2，2]上的最大值为f（-2）．

解答： 解：（1）∵f（0）=2，
∵c=2，
又∵A={1，2}，
∴1，2中方程f（x）=x的根，即方程ax²+（b-1）x+2=0的根，
由韦达定理得：1+2=

1-b

a

，1×2=

2

a

，
解得：a=1，b=-2，
∴f（x）=x²-2x+2．
（2）∵A={1}，
∴方程f（x）=x的有两等根，即方程ax²+（b-1）x+c=0有两等根，
∴1+1=

1-b

a

，1×1=

c

a

，
即b=1-2a，c=a，
∴f（x）=ax²+（1-2a）x+a，
∵a≥1，
∴函数图象的对称轴x=

2a-1

2a

=1-

1

2a

∈[

1

2

，1），
∴f（x）在区间在区间[-2，2]上的最大值为f（-2）=9a-2．

点评：本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．