Question

已知椭圆C中心在原点且长轴长等于2

2

，与双曲线x²-y²=

1

2

有共同焦点．
（1）求椭圆C的方程
（2）问t取何值时，直线l：2x-y+t=0（t＞0）与椭圆C有且只有一个交点？
（3）在（2）的条件下，证明：直线l上横坐标小于2的点P到点（1，0）的距离与到直线x=2的距离之比的最小值等于椭圆的离心率．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，a＞b＞0．由已知得

a= 2 c=1

，由此能求出椭圆C的方程．
（2）由

2x-y+t=0 x2 2 +y2=1

，得9x²+8tx+2t²-2=0，当△=64t²-36×2（t²-1）=0时，得t=3．此时直线l与曲线C有且只有一个交点；当△=64t²-36×2（t²-1）＞0，且直线2x-y+t=0恰好过点（-

2

，0）时，t=2

2

，此时直线l与曲线C有且只有一个交点．
（3）直线l方程为2x-y+3=0．设点P（a，2a+3），a＜2，d₁表示P到点（1，0）的距离，d₂表示P到直线x=2的距离，则

d1

d2

=

5a2+10a+10

2-a

=

5• a2+2a+2 (a-2)2

，由此能证明

d1

d2

的最小值等于椭圆的离心率．

解答： （1）解：∵椭圆C中心在原点且长轴长等于2

2

，
与双曲线x²-y²=

1

2

有共同焦点F₁（-1，0），F₂（1，0），
∴设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，a＞b＞0．
且

a= 2 c=1

，∴b²=2-1=1，
∴椭圆C的方程为

x2

2

+y2=1．
（2）解：由

2x-y+t=0 x2 2 +y2=1

，得9x²+8tx+2t²-2=0，
当△=64t²-36×2（t²-1）=0时，
t=±3，∵t＞0，∴t=3．
此时直线l与曲线C有且只有一个交点；
当△=64t²-36×2（t²-1）＞0，且直线2x-y+t=0恰好过点（-

2

，0）时，
t=2

2

，此时直线l与曲线C有且只有一个交点．
综上，当t=3或t=2

2

时，直线l与曲线C有且只有一个交点．
（3）证明：直线l方程为2x-y+3=0．
设点P（a，2a+3），a＜2，d₁表示P到点（1，0）的距离，d₂表示P到直线x=2的距离，
则d1=

(a-1)2+(2a+3)2

=

5a2+10a+10

，d₂=2-a，
∴

d1

d2

=

5a2+10a+10

2-a

=

5• a2+2a+2 (a-2)2

，
令f（a）=

a2+2a+2

(a-2)2

，
则f′(a)=

(2a+2)(a-2)2-2(a2+2a+2)(a-2)

(a-2)4

=

-(6a+8)

(a-2)3

，
令f′（a）=0，得a=-

4

3

，
∵当a＜-

4

3

时，f′（a）＜0；
当-

4

3

＜a＜2时，f′（a）＞0，
∴f（a）在a=-

4

3

时，取得最小值，即

d1

d2

取得最小值，
∴(

d1

d2

)min=

5•f(- 4 3 )

=

2

2

，
又椭圆C有离心率为

2

2

，
∴

d1

d2

的最小值等于椭圆的离心率．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆C有且只有一个交点时实数值的求法，考查直线上横坐标小于2的点P到点（1，0）的距离与到直线x=2的距离之比的最小值等于椭圆的离心率的证明，解题时要注意函数与方程思想的合理运用．