Question

过点（0，3）的直线l，与双曲线

x2

4

-

y2

3

=1只有一个公共点，求直线l的方程．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设直线方程联立消元后，根据3-4k²=0，或3-4k²≠0且△=0求得k，可得直线方程．

解答： 解：设过点（0，3）的直线l，与双曲线

x2

4

-

y2

3

=1只有一个公共点的直线为y=kx+3．
代入双曲线方程，消去y整理得（3-4k²）x²-24kx-48=0，
当3-4k²≠0时，△=（24k）²+4×48（3-4k²）=0，
解得k=±

3

；
当3-4k²=0时，k=±

3

2

，与渐近线平行也成立．
故过点（0，1）与双曲线x²-y²=1有且只有一个公共点的直线有4条．
且方程为y=±

3

x+3或y=±

3

2

x+3．

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题，突出考查了分类讨论的应用，考虑双曲线的问题，不要忽视渐近线，属中档题和易错题．