Question

讨论函数f（x）=log_a

x+1

x-1

（a＞0且a≠1）在（1，+∞）上的单调性，并用单调性的定义予以证明．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：根据单调性的定义，设1＜x₁＜x₂，判断

x1+1

x1-1

与

x2+1

x2-1

的大小关系，讨论a即可判断出f（x₁）与f（x₂）的大小关系，这样即可判断出函数f（x）在（1，+∞）上的单调性．

解答： 解：设1＜x₁＜x₂，则：

x1+1

x1-1

-

x2+1

x2-1

=

(x1+1)(x2-1)-(x2+1)(x1-1)

(x1-1)(x2-1)

=

2(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

；
∵1＜x₁＜x₂，∴x₂-x₁＞0，x₁-1＞0，x₂-1＞0；
∴

x1+1

x1-1

＞

x2+1

x2-1

；
∴若0＜a＜1，则loga

x1+1

x1-1

＜loga

x2+1

x2-1

，即f（x₁）＜f（x₂）；
∴函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；
若a＞1，则loga

x1+1

x1-1

＞loga

x2+1

x2-1

，即f（x₁）＞f（x₂）；
∴函数f（x）在（1，+∞）上单调递减．

点评：考查单调性的定义，以及根据单调性的定义判断函数单调性的过程，对数函数的单调性．