Question

已知抛物线y²=2px（p＞0）的准线方程是x=-1
（1）求抛物线的标准方程和焦点坐标．
（2）求直线y=x和抛物线所围成的平面图形的面积．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由抛物线的焦点坐标和准线方程，求出p即可．
（2）先联立求出方程组的解，利用导数的运算法则和微积分基本定理即可得出．

解答： 解：（1）由抛物线y²=2px（p＞0）的准线方程是x=-1，
则p=2，故抛物线的标准方程是y²=4x，焦点坐标为（1，0）．
（2）由

y=x y2=4x

解得

x=0 y=0

x=4 y=4

，
则直线y=x和抛物线所围成的平面图形的面积S=

∫

4 0

（y-

1

4

y²）dy
=（

1

2

y²-

1

12

y³）|

4 0

=

1

2

×16-

1

12

×64
=8-

16

3

=

8

3

．

点评：本题考查抛物线的标准方程和焦点及准线，考查定积分求面积，熟练掌握导数的运算法则和微积分基本定理是解题的关键．