Question

8．设$\overrightarrow{e_1}$，$\overrightarrow{e_2}$，$\overrightarrow{e_3}$为单位向量，且$\overrightarrow{e_3}=\frac{1}{2}\overrightarrow{e_1}+k\overrightarrow{e_2}$，（k＞0），若以向量$\overrightarrow{e_1}$，$\overrightarrow{e_2}$为两边的三角形的面积为$\frac{1}{2}$，则k的值为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{7}}}{2}$

Answer 1

分析 由以向量$\overrightarrow{e_1}$，$\overrightarrow{e_2}$为两边的三角形的面积为$\frac{1}{2}$，结合三角形的面积公式可得$sin＜\overrightarrow{e_1}，\overrightarrow{e_2}＞=1$，故$\overrightarrow{e_1}⊥\overrightarrow{e_2}$，把$\overrightarrow{e_3}=\frac{1}{2}\overrightarrow{e_1}+k\overrightarrow{e_2}$两边平方后即可求得k的值．

解答 解：∵以向量$\overrightarrow{e_1}$，$\overrightarrow{e_2}$为两边的三角形的面积为$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{2}×1×1×sin＜\overrightarrow{e_1}，\overrightarrow{e_2}＞=\frac{1}{2}$，则$sin＜\overrightarrow{e_1}，\overrightarrow{e_2}＞=1$，故$\overrightarrow{e_1}⊥\overrightarrow{e_2}$，
又$\overrightarrow{e_3}=\frac{1}{2}\overrightarrow{e_1}+k\overrightarrow{e_2}$，（k＞0），
∴${|{\overrightarrow{e_3}}|^2}={|{\frac{1}{2}\overrightarrow{e_1}+k\overrightarrow{e_2}}|^2}=\frac{1}{4}+{k^2}=1$，
解得：$k=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查平面向量数量积运算，考查了利用正弦定理求三角形的面积公式，是中档题．