Question

18．某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图1所示的一条折线表示，西红柿的种植成本与上市时间的关系用图2所示的抛物线表示．（注：市场售价和种植成本的单位：元/kg，时间单位：天）

（1）写出图1表示的市场售价与时间的函数关系式P=f（t）；写出图2表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g（t）；
（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？为多少？

Answer 1

分析 （1）通过图1分别计算0≤t≤200、200＜t≤300时可得分段函数，通过图2利用待定系数法计算即得结论；
（2）通过设t时刻的纯收益为h（t），利用h（t）=f（t）-g（t），分0≤t≤200、200＜t≤300两种情况配方计算即得结论．

解答 解：（1）由图1可得市场售价与时间的函数关系为f（t）=$\left\{\begin{array}{l}{300-t，}&{0≤t≤200}\\{2t-300，}&{200＜t≤300}\end{array}\right.$，
由图2可得种植成本与时间的函数关系式为g（t）=$\frac{1}{200}$（t-150）²+100，0≤t≤300；
（2）设t时刻的纯收益为h（t），则h（t）=f（t）-g（t），
即h（t）=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{200}{t}^{2}+\frac{1}{2}t+\frac{175}{2}，}&{0≤t≤200}\\{-\frac{1}{200}{t}^{2}+\frac{7}{2}t-\frac{1025}{2}，}&{200＜t≤300}\end{array}\right.$，
当0≤t≤200时，配方整理得h（t）=-$\frac{1}{200}$（t-50）²+100，
所以，当t=50时，h（t）取得区间[0，200]上的最大值100；
当200＜t≤300时，配方整理得h（t）=-$\frac{1}{200}$（t-350）²+100，
所以，当t=300时，h（t）取得区间（200，300]上的最大值87.5；
综上所述，纯收益最大值为100，此时t=50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿收益最大．

点评 本题考查函数模型的选择与应用，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．