Question

3．对于函数f（x），若存在区间A=[m，n]，使得{y|y=f（x），x∈A}=A，则称函数f（x）为“可等域函数”，区间A为函数f（x）的一个“可等域区间”，给出下列四个函数：
①f（x）=sin（$\frac{π}{2}$x）
②f（x）=|2^x-1|
③f（x）=2x²-1
④f（x）=log₂（2x-2）．
其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”的序号为②③．

Answer 1

分析 根据“可等域区间”的定义分别进行判断即可得到结论．

解答 解：①：函数f（x）=sin（$\frac{π}{2}$x）的周期是4，正弦函数的性质我们易得，A=[0，1]为函数的一个“可等域区间”，同时当A=[-1，0]时也是函数的一个“可等域区间”，∴不满足唯一性．
②A=[0，1]为函数f（x）=|2^x-1|的“可等域区间”，
当x∈[0，1]时，f（x）=2^x-1，函数单调递增，f（0）=1-1=0，f（1）=2-1=1满足条件，
∴m，n取值唯一．故满足条件．
③当A=[-1，1]时，f（x）∈[-1，1]，满足条件，且由二次函数的图象可知，满足条件的集合只有A=[-1，1]一个．
④∵f（x）=log₂（2x-2）单调递增，且函数的定义域为（1，+∞），
若存在“可等域区间”，则满足$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}（2m-2）=m}\\{lo{g}_{2}（2n-2）=n}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{2m-2={2}^{m}}\\{2n-2={2}^{n}}\end{array}\right.$，
∴m，n是方程2^x=2x-2的两个根，
作出函数设f（x）=2^x和y=2x-2的图象，
当x＞1时，两个函数没有交点，
∴f（x）=2^x-2x+2=0不可能存在两个解，
故f（x）=log₂（2x-2）不存在“可等域区间”．
故答案为：②③

点评 本题主要考查与函数有关的新定义问题，根据“可等域区间”的定义，建立条件关系是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度．