Question

已知{a_n}中，a_n+1=

an

2an+1

，a₁=1，则a₂₀₁₄=

 

．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：由递推公式求出数列的前四项，由此猜想a_n=

1

2n-1

．从而能求出a₂₀₁₄的值．

解答： 解：∵a_n+1=

an

2an+1

，a₁=1，
∴

a

2

=

1

2+1

=

1

3

，
a₃=

1 3

2× 1 3 +1

=

1

5

，
a4=

1 5

2× 1 5 +1

=

1

7

，
由此猜想a_n=

1

2n-1

．
当n=1时，a1=

1

2×1-1

=1，成立，
假设n=k时成立，即an=

1

2n-1

，
∴当n=k+1时，a_n+1=

an

2an+1

=

1 2n-1

2× 1 2n-1 +1

=

1

2n+1

=

1

2(n+1)-1

，也成立，
∴an=

1

2n-1

，
∴a₂₀₁₄=

1

2×2014-1

=

1

4027

．
故答案为：

1

4027

．

点评：本题考查数列的第2014项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数学归纳法的合理运用．