Question

已知二次函数f（x）满足f（x+1）-f（x）=2x+1且f（0）=1，函数g（x）=2mx（m＞0）
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）判断函数F（x）=

g(x)

f(x)

在（0，1）上的单调性并加以证明．

Answer 1

考点：二次函数的性质,函数单调性的判断与证明

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）设f（x）=ax²+bx+c，由条件列出方程，解得即可；
（Ⅱ）F（x）在（0，1）上单调递增．运用单调性的定义，注意作差、变形、定符号和下结论几个步骤．

解答： 解：（Ⅰ）设f（x）=ax²+bx+c，由f（0）=1，得c=1，
由f（x+1）-f（x）=2x+1，即有a（x+1）²+b（x+1）+1-（ax²+bx+1）=2x+1，
即有2a=2，a+b=1，解得a=1，b=0，
则f（x）=x²+1；
（Ⅱ）F（x）=

g(x)

f(x)

=

2mx

x2+1

在（0，1）上单调递增．
证明如下：设0＜s＜t＜1，
则F（s）-F（t）=

2ms

s2+1

-

2mt

t2+1

=

2m(s-t)(1-st)

(1+s2)(1+t2)

，
由于0＜s＜t＜1，则s-t＜0，0＜st＜1，1-st＞0，m＞0，
则则F（s）-F（t）＜0，
则F（x）在（0，1）上单调递增．

点评：本题考查二次函数的解析式的求法：待定系数法，考查函数的单调性的证明，注意运用定义，属于基础题．