某市规定.高三毕业生三年在校期间参加不少于80小时的社区服务才合格．教育部门在全市随机抽取200位学生参加社区服务的数据为样本.按时间段[75.80).[80.85).[85.90).[90.95).[95.100]进行统计.其频率分布直方图如图所示．(Ⅰ)求a的值,(Ⅱ)若该市高三毕业生共有10万人.利用抽取的样本试估计全市毕业生社区服务不合格的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

某市规定，高三毕业生三年在校期间参加不少于80小时的社区服务才合格．教育部门在全市随机抽取200位学生参加社区服务的数据为样本，按时间段[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100]（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若该市高三毕业生共有10万人，利用抽取的样本试估计全市毕业生社区服务不合格的人数；
（Ⅲ）按时间段将不少于90小时的数据分为[90，95），[95，100]两层，利用分层抽样的方法从样本中抽取8个数据，再从这8个数据中随机抽取2个，求抽取的两个数据至少有一个在[95，100]的概率．

考点：古典概型及其概率计算公式,分层抽样方法,频率分布直方图

专题：概率与统计

分析：（I）根据各组数据的累积频率为1，及各组概率等于对应矩形的面积，构造关于a的方程，可求出a的值；
（Ⅱ）根据已知中的频率分布直方图，可得从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不合格的概率估计为：P=

200

，结合该市高三毕业生共有10万人，可得全市毕业生社区服务不合格的人数；
（Ⅲ）分别出8个数据中随机抽取2个的基本事件总数和两个数据至少有一个在[95，100]的基本事件个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．

解答： 解：（Ⅰ）由已知得：（0.005+0.040+0.075+a+0.020）×5=1，
解得：a=0.060； …3分
（Ⅱ）根据题意，参加社区服务时间在时间段[75，80）小时的学生人数为200×0.005×5=5（人），
所以抽取的200位学生中，参加社区服务时间在时间段[75，80）的学生人数5人．
所以从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不合格的概率估计为：P=

200

，
由此估计全市毕业生社区服务不合格的人数为：100000×

=2500．…8分
（Ⅲ）参加社区服务时间在时间段[90，95）小时的学生人数为200×0.060×5=60（人），
参加社区服务时间在时间段[95，100]小时的学生人数为200×0.020×5=20（人），
利用分层抽样的方法从样本中抽取8个，则在时间段[90，95）的有6个，分别记为a、b、c、d、e、f在时间段[95，100]的有2个，分别记为A、B，从中任取2个，不同的取法是：
ab，ac，ad，ae，af，aA，aB，bc，bd，be，bf，bA，bB，cd，ce，cf，cA，cB，de，df，dA，dB，ef，eA，eB，fA，fB，AB，共有28种，
其中至少有一个在[95，100]的不同取法是：
aA，aB，bA，bB，cA，cB，dA，dB，eA，eB，fA，fB，AB，共13种，
所以，抽取的两个数据至少有一个落在[95，100]的概率为

．…13分．

点评：本题考查的知识点是古典概型概率计算公式，其中熟练掌握利用古典概型概率计算公式求概率的步骤，是解答的关键．