Question

设以

e

=（1，-2）为方向向量的直线的倾斜角为α，则sin（2α+

π

4

）=

 

．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,二倍角的正弦,直线的一般式方程

专题：三角函数的求值

分析：由方向向量可得tanα=-2，可得sin2α和cos2α的值，再有两角和的正弦可得．

解答： 解：∵以

e

=（1，-2）为方向向量的直线的倾斜角为α，
∴tanα=-2，∴sin2α=2sinαcosα=

2sinαcosα

sin2α+cos2α

=

2tanα

1+tan2α

=-

4

5

，
∴cos2α=cos²α-sin²α=

cos2α-sin2α

cos2α+sin2α

=

1-tan2α

1+tan2α

=-

3

5

，
∴sin（2α+

π

4

）=

2

2

sin2α+

2

2

cos2α=

2

2

（sin2α+cos2α）=

2

2

×（-

7

5

）=-

7 2

10

故答案为：-

7 2

10

点评：本题考查三角函数的公式的综合应用，涉及直线的方向向量，属中档题．