Question

已知F是定点，l为定直线，点F到l的距离为p（p＞0），点M在直线l上移动，动点N在MF的延长线上，且满足|FN|•|MF|=|MN|，求动点N的轨迹方程．

Answer 1

考点：与直线有关的动点轨迹方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：过F作FA⊥l于A，分别以AF，l为x，y轴建立直角坐标系，设出N的坐标，结合已知|FN|•|MF|=|MN|列等式，再由三角形相似列比例式，整理后即可得到动点N的轨迹方程．

解答： 解：如图，

作FA⊥l于A，分别以AF，l为x，y轴建立直角坐标系，则F（p，0），
设N（x，y），x＞p，M（0，m），则

y

x-p

=-

m

p

，m=-

py

x-p

，①
由|FN|•|MF|=|MN|，得|FN|：|MN|=1：|MF|，
则（x-p）：x=1：

p2+m2

，
平方得

x2

(x-p)2

=p2+m2，②
把①代入②，得

x2

(x-p)2

=p2+

p2y2

(x-p)2

，
∴x²-p²y²=p²（x-p）²，
∴（p²-1）x²+p²y²-2p³x+p⁴=0，x＞p≥1，即为动点N的轨迹方程．

点评：本题考查了轨迹方程的求法，解答此题的关键是由题意列出比例式，结合已知等式找N的关系式，是中档题．