Question

设过点P（2，1）的直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于点A、B，O为坐标原点，且△AOB的面积＞

9

2

，求直线l的斜率k的取值范围．

Answer 1

考点：直线的点斜式方程

专题：直线与圆

分析：先设直线的斜率为k，得到直线方程，分别求出OA，OB的长，再表示出面积，得到关于k的不等式，解得即可．

解答： 解：设直线的斜率为k，因为直线与x轴y轴正半轴分别相交，所以k＜0，
因为经过点P（2，1），则直线I的方程为y-1=k（x-2）整理得：kx-y+1-2k=0，
当x=0时，y=|OB|=1-2k＞0，当y=0时，x=|OA|=2-

1

k

＞0，
所以S_△AOB=

1

2

|0B||0A|=

1

2

（1-2k）（2-

1

k

）
因为△AOB的面积大于

9

2

，
所以

1

2

（1-2k）（2-

1

k

）＞9，
∴4k²+14k+1＞0，
解得k＜

-7-3 5

4

，或

-7+3 5

4

＜k＜0，
故直线l的斜率k的取值范围（-∞，

-7-3 5

4

）∪（

-7+3 5

4

，0），

点评：本题主要考查了直线方程和，基本不等式的解法，属于基础题．