Question

ax²+2x+1=0至少有一个负实根，则a的范围是

 

．

Answer 1

考点：函数的零点与方程根的关系

专题：函数的性质及应用

分析：a=0时，原方程变成2x+1=0，该方程有一个负实根，满足条件．a≠0时，原方程是一元二次方程，这时候应想到判断原方程是否有两个正实根：可假设原方程有两个正实根，则

- 2 a ＞0 1 a ＞0

，显然该不等式组无解，即不存在两个正实根，所以只要原方程有解即满足条件．所以△=4-4a≥0，a≤1，综合以上情况即可得到a的范围．

解答： 解：①若a=0，则2x+1=0，∴x=-

1

2

，符合条件；
②若a≠0，先求ax²+2x+1=0有两个正实根的a的取值范围，此时a应满足：

- 2 a ＞0 1 a ＞0

，该不等式组无解；
所以不存在两个根都是正根的情况；
∴只要ax²+2x+1=0有解即可；
∴△=4-4a≥0，a≤1；
综上得a的范围是（-∞，1]．
故答案为：（-∞，1]．

点评：考查遇到二次项系数是参数时，需讨论该参数是否为0，韦达定理，以及一元二次方程是否有解和判别式△的关系．