Question

已知函数．
（1）若在处取得极值，求实数的值；
（2）求函数的单调区间；
（3）若在上没有零点，求实数的取值范围．

Answer 1

（1）；（2）单调递增区间为，单调递减区间为；（3）.

试题分析：（1）求函数极值分四步，一是求函数定义域，二是求函数导数，三是根据导数为零将定义区间分割，讨论导数值正负，；，，，四是根据导数符号变化确定极值点；（2）利用导数求函数单调性，也是四个步骤.一是求出定义域：，二是求导数，三是分析导数符号变化情况，四是根据导数符号写出对应单调区间：减区间为,增区间； （3）在上没有零点，即在上恒成立,也就是或，又，只须在区间上.以下有两个思路，一是求最小值，需分类讨论，当时，.当时，当时，二是变量分离，，只需求函数的最小值.
试题解析：解：（1）的定义域为.        1分
.           2分
在处取得极值，
，解得或（舍）.                   3分
当时，，；，，
所以的值为.                                         4分
（2）令，解得或（舍）.           5分
当在内变化时，的变化情况如下：

	↘	极小值	↗

由上表知的单调递增区间为，单调递减区间为.   8分
（3）要使在上没有零点，只需在上或，
又，只须在区间上.
（ⅰ）当时，在区间上单调递减，
，
解得 与矛盾.                    10分
（ⅱ） 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
，
解得，所以.                                  12分
（ⅲ）当时，在区间上单调递增，，满足题意.
综上，的取值范围为.                          13分