Question

已知.
（1）求函数的最大值；
（2）设，，且，证明：.

Answer 1

（1）0；（2）证明过程详见解析.

试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性、最值等基础知识，同时考查分析问题解决问题的综合解题能力和计算能力.第一问，对求导，由于单调递增，单调递减，判断出函数的单调性，求出函数的最大值；第二问，根据第一问的结论将定义域分成2部分，当时，函数为单调递减，所以，所以一定小于1，当时，只需证明即可，构造新函数，对求导，判断的单调性，求出的最小值为0，所以，所以，即.
试题解析：（Ⅰ）．
当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
所以的最大值为．       5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，，．     7分
当时，等价于设．
设，则．
当时，，，则，
从而当时，，在单调递减．
当时，，即．
综上，总有．        12分