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已知
.
(1)求函数
的最大值;
(2)设
,
,且
,证明:
.
试题答案
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(1)0;(2)证明过程详见解析.
试题分析:本题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性、最值等基础知识,同时考查分析问题解决问题的综合解题能力和计算能力.第一问,对
求导,由于
单调递增,
单调递减,判断出函数
的单调性,求出函数的最大值;第二问,根据第一问的结论将定义域分成2部分,当
时,函数
为单调递减,所以
,所以
一定小于1,当
时,只需证明
即可,构造新函数
,对
求导,判断
的单调性,求出
的最小值为0,所以
,所以
,即
.
试题解析:(Ⅰ)
.
当
时,
,
单调递增;
当
时,
,
单调递减.
所以
的最大值为
. 5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当
时,
,
. 7分
当
时,
等价于设
.
设
,则
.
当
时,
,
,则
,
从而当
时,
,
在
单调递减.
当
时,
,即
.
综上,总有
. 12分
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相关题目
已知函数
(1)若
,试确定函数
的单调区间;
(2)若
,且对于任意
,
恒成立,试确定实数
的取值范围;
已知函数
.
(1)若
在
处取得极值,求实数
的值;
(2)求函数
的单调区间;
(3)若
在
上没有零点,求实数
的取值范围.
已知
在
处取得极值,且在点
处的切线斜率为
.
⑴求
的单调增区间;
⑵若关于
的方程
在区间
上恰有两个不相等的实数根,求实数
的取值范围.
已知函数
.下列命题:( )
①函数
的图象关于原点对称; ②函数
是周期函数;
③当
时,函数
取最大值;④函数
的图象与函数
的图象没有公共点,其中正确命题的序号是
A.①③
B.②③
C.①④
D.②④
函数
的单调递减区间是____________________.
如果关于x的方程ax+
=3在区间(0,+∞)上有且仅有一个解,那么实数a的取值范围为________.
已知函数f(x)=ln x+ax(a∈R).
(1)求f(x)的单调区间;
(2)设g(x)=x
2
-4x+2,若对任意x
1
∈(0,+∞),均存在x
2
∈[0,1],使得f(x
1
)<g(x
2
),求a的取值范围.
函数f(x)=x
3
+2x
2
+mx+1在(-∞,+∞)内单调递增的充要条件是
.
关 闭
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