Question

已知函数f（x）=lnx-a（x²-x）（a∈R）．
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求f（x）在[1，2]的最大值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）通过a=1，求出函数的导数，得到切线的斜率，然后求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求出函数的导数，通过a与0的大小，讨论，分别判断函数的单调性求解求f（x）在[1，2]的最大值．

解答： （本小题满分14分）
解：（I）当a=1时  f（x）=lnx-x²+xf′(x)=

1

x

-2x+1…．（3分）
∴f（1）=0，f′（1）=0即：所求切线方程为：y=0…．（6分）
（II）∵f′(x)=

1

x

-2ax+a=

-2ax2+ax+1

x

，x＞0
∴当a=0时，f′（x）＞0，
f（x）在[1，2]上递增
∴f（x）_max=f（2）=ln2…．（7分）
当a≠0时 可令g（x）=-2ax²+ax+1，x∈[1，2]．
∵g（x）的对称轴x=

1

4

且过点（0，1）
∴当a＜0时，f′（x）＞0在[1，2]恒成立，
f（x）在[1，2]上递增
∴f（x）_max=f（2）=ln2-2a…．（9分）
当a＞0时，
若g（1）≤0，即：a≥1时，f′（x）＜0在[1，2]恒成立，
f（x）在[1，2]上递减，
∴f（x）_max=f（1）=0…．（10分）
若g（1）＞0，g（2）＜0，即：

1

6

＜a＜1时，f′（x）在[1，

a+ a2+8a

4a

)上大于零，
在(

a+ a2+8a

4a

，2]上小于零f（x）在[1，

a+ a2+8a

4a

)上递增，
在(

a+ a2+8a

4a

，2]上递减，
∴f(x)max=f(

a+ a2+8a

4a

)=ln

a+ a2+8a

4a

+

a2+8a +a-4

8

…．（12分）
若g（1）＞0，g（2）≥0，即：0＜a≤

1

6

时，f′（x）＞0在[1，2]恒成立，
 f（x）在[1，2]上递增，
∴f（x）_max=f（2）=ln2-2a…．（13分）
综上：f(x)max=

ln2-2a，a≤ 1 6 ln a+ a2+8a 4a + a2+8a +a-4 8 ， 1 6 ＜a＜1 0，a≥1

…．（14分）

点评：本题考查函数的导数的应用，闭区间上的函数的最值的求法，考查分析问题解决问题的能力．