Question

已知函数f （x）=b•a^x（其中a，b为常量，且a＞0，a≠1）的图象经过点A（1，6），B（3，24）．
（1）求f（x）；
（2）若函数g（x）=

1+ax-m•bx

在x∈（-∞，1]时有意义，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：指数函数综合题

专题：函数的性质及应用

分析：（1）把点A（1，6），B（3，24）坐标代入函数关系式，求出a，b即可得到f（x）；
（2）转化为m≤

1+2x

3x

=（

1

3

）^x+(

2

3

)xm（x）=（

1

3

）^x+(

2

3

)x在x∈（-∞，1]时单调递减，求解最小值即可．

解答： 解：（1）∵函数f （x）=b•a^x（其中a，b为常量，且a＞0，a≠1），
图象经过点A（1，6），B（3，24）．
∴ba=6，b．a³=24，
∴b=3，a=2，
∴f（x）=3×2^x；
（2）函数g（x）=

1+ax-m•bx

=

1+2x-m•3x

，
∵在x∈（-∞，1]时有意义，
∴1+2^x-m3^x≥0，m≤

1+2x

3x

=（

1

3

）^x+(

2

3

)x，
令m（x）=（

1

3

）^x+(

2

3

)x在x∈（-∞，1]时单调递减，
∴m（x）_min=

1

3

+

2

3

=1，
∴m≤1，
故实数m的取值范围：（-∞，1]．

点评：本题考查了指数函数的性质，不等式的恒成立，属于中档题．