Question

已知函数f（x）=2sinxcosx-1（x∈R），给出下列四个命题（　　）
①若f（x₁）=-f（x₂），则x₁=-x₂；
②f（x）的最小正周期是2π；
③f（x）在区间[-

π

4

，

π

4

]上是增函数；
④f（x）的图象关于直线x=

3π

4

对称，
其中正确的命题是（　　）

• A、①②④
• B、①③
• C、②③
• D、③④

Answer 1

考点：二倍角的正弦

专题：三角函数的图像与性质

分析：f（x）=2sinxcosx-1=sin2x-1，
①若f（x₁）=-f（x₂）⇒sin2x₁=sin2x₂=1，不能推出x₁=-x₂，可判断①；
②利用正弦函数的周期公式可知f（x）的最小正周期是T=

2π

2

=π≠2π，可判断②；
③由-

π

2

≤2x≤

π

2

得：-

π

4

≤x≤

π

4

，f（x）在区间[-

π

4

，

π

4

]上是增函数，可判断③；
④f（

3π

4

）=sin

3π

2

-1=-2，为其最小值，可判断④

解答： 解：∵函数f（x）=2sinxcosx-1=sin2x-1（x∈R），
①若f（x₁）=-f（x₂），则sin2x₁-1+sin2x₂-1=0，
所以，sin2x₁+sin2x₂=2，
所以，sin2x₁=sin2x₂=1，不能推出x₁=-x₂，故①错误；
②f（x）的最小正周期是T=

2π

2

=π≠2π，故②错误；
③由-

π

2

≤2x≤

π

2

得：-

π

4

≤x≤

π

4

，f（x）在区间[-

π

4

，

π

4

]上是增函数，③正确；
④因为f（

3π

4

）=sin

3π

2

-1=-2，为其最小值，故f（x）的图象关于直线x=

3π

4

对称，④正确．
其中正确的命题是③④，
故选：D．

点评：本题考查正弦函数的图象与性质，着重考查其周期性、单调性与对称轴的应用，属于中档题．