Question

已知f（x）=

1

|x-2|+1

-

1

3

，g（x）=|x-2|-2，记F（t）=

∫

t 0

[f（x）-g（x）]dx，函数F（t）的导函数为F′（t），则函数y=F′（t），t∈（0，4）的大致图象是（　　）

• A、
• B、
• C、
• D、

Answer 1

考点：函数的图象

专题：函数的性质及应用

分析：先化简两个函数的表达式，验证可知f（x）与g（x）均过（0，0）与（4，0），且在x∈（0，4）时f（x）的图象都在g（x）的上方，故在同一坐标系中画图，结合图象处理．

解答： 解：对于函数f（x）=

1

|x-2|+1

-

1

3

=

1 x-1 - 1 3 ，x≥2 -1 x-3 - 1 3 ，x＜2

，此函数中的两段都可看成反比例函数经过平移得到，
且x≥2时不难验证图象过（2，

2

3

）与（4，0）；而x≤2时不难验证图象过（2，

2

3

）与（0，0）；
对于函数g（x）=|x-2|-2=

x-4，x≥2 -x，x＜2

，此函数中的两段都可看成直线的一部分，
x≥2时不难验证图象过（2，-2）与（4，0）；而x≤2时不难验证图象过（2，-2）与（0，0）；
利用上述条件在同一个平面直角坐标系内画y=f（x）与y=g（x）图象：

又F（t）=

∫

1 0

[f（x）-g（x）]dx表示由函数f（x）=

1

|x-2|+1

-

1

3

的图象、g（x）=|x-2|-2的图象与直线x=t围成的图形的面积，
∴从图象可以看出，t从0开始增大时，直线x=t向右移动，∵F（t）是增函数，且增的速度变化是先慢中间快再慢，
∴F′（t）的图象只有B符合．
故选：B．

点评：本题综合考查函数与函数图象，函数的单调性与导数的关系、定积分的几何意义，属于选择题中的高档题．