Question

已知各项均为证书的数列{a_n}前n项和为s_n，首项为a₁，且a_n是

1

2

和s_n的等差中项．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若aⁿ=(

1

2

)bn，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知得2an=Sn+

1

2

，an＞0，利用公式即可求得通项公式；
（Ⅱ）b_n=4-2n，利用等差数列求和公式即可得出结论．

解答： 解：（Ⅰ）由题意知2an=Sn+

1

2

，an＞0，…（1分）
当n=1时，2a1=a1+

1

2

     ∴a1=

1

2

；          …（2分）
当n≥2时，Sn=2an-

1

2

，Sn-1=2an-1-

1

2

，
两式相减得a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，整理得：

an

an-1

=2，…（5分）
∴数列{a_n}是以

1

2

为首项，2为公比的等比数列．
f(x)=2x+

2

x

+alnx，a∈R，…（6分）
（Ⅱ）由

a

2 n

=2-bn=22n-4得b_n=4-2n，…（9分）
所以，bn+1-bn=-2(n∈N*)，
所以数列{b_n}是以2为首项，-2为公差的等差数列，
∴Tn=-n2+3n．…（12分）

点评：本题主要考查等差数列、等比数列的定义及性质，考查等差数列求和公式及运用公式法求数列的通项公式，属于基础题．