Question

设函数f（x）=a^x-（k-1）a^-x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．
（1）求k值；
（2）若f（1）=

3

2

，且g（x）=a^2x+a^-2x-2m，f（x）在[1，+∞）上的最小值为-2，求m的值．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用奇函数的性质f（0）=0即可得出；
（2）利用f（1）=

3

2

，可得a．可得g（x）=（2^x-2^-x）²-2m（2^x-2^-x）+2．再利用指数函数与二次函数的单调性即可得出．

解答： 解：（1）∵f（x）是定义域为R的奇函数，
∴f（0）=0，
∴1-（k-1）=0，∴k=2，
经检验知：k=2满足题意．
（2）∵f（1）=

3

2

，a-

1

a

=

3

2

，即2a²-3a-2=0，
解得a=2或-

1

2

，其中a=-

1

2

舍去．
∴g（x）=2^2x+2^-2x-2m（2^x-2^-x）=（2^x-2^-x）²-2m（2^x-2^-x）+2．
令t=f（x）=2^x-2^-x，
由（1）可知f（x）=2^x-2^-x为增函数，
∵x≥1，∴t≥f（1）=

3

2

，
令h（t）=t²-2mt+2=（t-m）²+2-m² （t≥

3

2

），
若m≥

3

2

，当t=m时，h（t）_min=2-m²=-2，∴m=2．  …（10分）
若m＜

3

2

，当t=

3

2

时，h（t）_min=

17

4

--3m=-2，解得m=

25

12

＞

3

2

，舍去．
综上可知：m=2．

点评：本题考查了函数的奇偶性、用指数函数与二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．