题目内容

已知函数f（x）=log3（ax2+2x+3），a∈R．
（1）若f（x）的定义域为R，求实数a的取值范围；
（2）若f（x）的值域为R，求实数a的取值范围．
考点：对数函数的图像与性质
专题：函数的性质及应用
分析：（1）根据对数函数的定义，真数大于0，即可求出m的范围．
（2）f（x）的值域为R，也可以说y=ax2+2x+3取遍一切正数，问题得以解决．
解答： 解：（1）由f（x）的定义域为R，则ax2+2x+3＞0恒成立，…（1分）
若a=0时，2x+3＞0，x＞-
3
2
，不合题意； …（3分）
所以a≠0；
由
a＞0
△=22-4•a•3＜0
得：a＞
1
3
．…（6分）
（2）由f（x）的值域为R，所以{y|y=ax2+2x+3，x∈R}?（0，+∞），…（7分）
（也可以说y=ax2+2x+3取遍一切正数）
①若a=0时，y=2x+3可以取遍一切正数，符合题意，…（9分）
②若a≠0时，需
a＞0
△=22-4•a•3≥0
，即0＜a≤
1
3
； …（12分）
综上，实数a的取值范围为（0，
1
3
]．…（13分）
点评：本题主要考查了对数函数的定义和二次函数的性质，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
下列各图中，不能表示函数y=f（x）的图象的是（　　）
A、
B、
C、
D、
已知函数f（x）=2cos
x
2
（
3
cos
x
2
-sin
x
2
）．
（Ⅰ）设x∈[-
π
2
，
π
2
]，求f（x）的值域；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知c=1，f（C）=
3
+1，且△ABC的面积为
3
2
，求边a和b的长．
已知函数f（x）=2sinxcosx-1（x∈R），给出下列四个命题（　　）
①若f（x1）=-f（x2），则x1=-x2；
②f（x）的最小正周期是2π；
③f（x）在区间[-
π
4
，
π
4
]上是增函数；
④f（x）的图象关于直线x=
3π
4
对称，
其中正确的命题是（　　）
A、①②④B、①③C、②③D、③④
已知f（x）=cos 2x-1，g（x）=f（x+m）+n，则使g（x）为奇函数的实数m，n的可能取值为（　　）
A、m=
π
2
，n=-1
B、m=
π
2
，n=1
C、m=-
π
4
，n=-1
D、m=-
π
4
，n=1
已知函数f（x）=x2+a（x+lnx），x＞0，a∈R是常数．
（1）求函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若函数y=f（x）图象上的点都在第一象限，试求常数a的取值范围；
（3）证明：?a∈R，存在ξ∈（1，e），使f′（ξ）=
f(e)-f(1)
e-1
．
已知向量
a
=（sinθ，-
5
5
）与
b
=（1，cosθ）
（Ⅰ）若
a
与
b
互相垂直，求tanθ的值
（Ⅱ）若|
a
|=|
b
|，求sin（
π
2
+2θ）的值．
f（x）=
x+2，-5≤x＜0
x2-1，0≤x＜2
，若f（a）=0，则a的值为
 
．
下列图形是函数y=
x2，x＜0
x-1，x≥0
，的图象的是
 
．

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