Question

设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+2）=-f（x），又当-1≤x≤1时，f（x）=x³，
（1）证明：直线x=1是函数f（x）图象的一条对称轴；
（2）当x∈[1，5]时，求f（x）的解析式；
（3）求x∈R时的函数f（x）的解析式；
（4）若A={x||f（x）|＞a，x∈R}，A≠∅，求a的取值范围．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法,抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由题意用x-1替换式中的x，变形可得f（1+x）=f（1-x），可得对称性；（2）当x∈[1，3]时，x-2∈[-1，1]，由题意可得当x∈[1，3]时的解析式，又可得f（x）的周期为4，可求当当x∈[3，5]时的解析式，综合可得；（3）由函数的周期性结合（2）的解析式可得；（4）可得函数f（x）的值域为[-1，1]，易得所求．

解答： 解：（1）由题意用x-1替换式中的x可得f（x-1+2）=-f（x-1），
即f（x+1）=-f（x-1），由奇函数可得f（x+1）=-f（x-1）=f（1-x），
即对任意x均有f（1+x）=f（1-x），
∴直线x=1是函数f（x）图象的一条对称轴；
（2）当x∈[1，3]时，x-2∈[-1，1]，
∵当-1≤x≤1时，f（x）=x³，
∴f（x-2）=（x-2）³，
∴f（x）=f[（x-2）+2]=-f（x-2）=-（x-2）³，
∴当x∈[1，3]时，f（x）=-（x-2）³，
又可得f（x+4）=f[（x+2）+2]=-f（x+2）=f（x），
可得函数f（x）的周期为4，
∴当x∈[3，5]时，x-4∈[-1，1]，
∴f（x）=f（x-4）=（x-4）³，
∴当x∈[3，5]时，f（x）=（x-4）³，
∴当x∈[1，5]时，求f（x）=

-(x-2)3，x∈[1，3) (x-4)3，x∈[3，5]

；
（3）由（2）可知函数f（x）的周期为4，
当x∈[1，5]时，求f（x）=

-(x-2)3，x∈[1，3) (x-4)3，x∈[3，5]

，
∴当x∈R时，f（x）=

-(x-2-4k)3，x∈[1+4k，3+4k) (x-4-4k)3，x∈[3+4k，5+4k]

，k∈Z；
（4）由上可知，函数f（x）的值域为[-1，1]
要满足题意需a≤0

点评：本题考查函数解析式的求解，涉及函数的对称性和周期性，属中档题．