Question

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b（cosA-2cosC）=（2c-a）cosB．
（Ⅰ）求

c

a

的值；
（Ⅱ）若cosB=

1

4

，△ABC的周长为5，求b．

Answer 1

考点：余弦定理,三角函数中的恒等变换应用,正弦定理

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，再利用正弦定理化简即可求出所求式子的值；
（Ⅱ）由第一问c=2a，代入a+b+c=5中，表示出b，利用余弦定理列出关系式，将表示出的b，c以及cosB代入求出a的值，即可确定出b的值．

解答： 解：（Ⅰ）在△ABC中，有

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R，
又b（cosA-2cosC）=（2c-a）cosB，
∴sinB（cosA-2cosC）=（2sinC-sinA）cosB，即sinBcosA-2sinBcosC=2sinCcosB-sinAcosB，
∴sin（A+B）=2sin（B+C），即sinC=2sinA，
则c=2a，即

c

a

=2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）∵c=2a，a+b+c=5，
∴b=5-（a+c）=5-3a，
由余弦定理得：b²=c²+a²-2accosB，
∴（5-3a）²=（2a）²+a²-4a²×

1

4

，
解得：a=1或a=5，
当a=1时，b=2；当a=5时，与a+b+c=5矛盾，
则b=2．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的恒等变换应用，熟练掌握定理是解本题的关键．