Question

已知椭圆C的中心在坐标原点O，左顶点A（-2，0），离心率e=

1

2

，F为右焦点，过焦点F的直线交椭圆C于P、Q两点（不同于点A）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）当△APQ的面积S=

18 2

7

时，求直线PQ的方程；
（Ⅲ）求

OP

•

FP

的范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出a=2，e=

c

a

=

1

2

，由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）法一：椭圆右焦点F（1，0）． 设直线PQ方程为x=my+1（m∈R）．由

x=my+1 x2 4 + y2 3 =1

，得（3m²+4）y²+6my-9=0，由此利用根的判别式和韦达定理能求出直线PQ的方程．
法二：由已知条件，先求出|PQ|=12×

m2+1

3m2+4

．再求出点A到直线PQ的距离d，由△APQ的面积S=

18 2

7

=

1

2

|PQ|•d，求出m，由此能求出直线PQ方程．
（Ⅲ）设P的坐标（（x₀，y₀），由已知条件推导出

OP

•

FP

=

1

4

x

2 0

-x0+3=

1

4

(x0-2)2+2，由此能求出

OP

•

FP

的范围．

解答： 解：（Ⅰ）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0），
∵椭圆C的中心在坐标原点O，左顶点A（-2，0），离心率e=

1

2

，
∴a=2，e=

c

a

=

1

2

∴c=1，b²=a²-c²=3，（2分）
∴椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1．（4分）
（Ⅱ）解法一：椭圆右焦点F（1，0）． 设直线PQ方程为x=my+1（m∈R）．（5分）
由

x=my+1 x2 4 + y2 3 =1

，得（3m²+4）y²+6my-9=0．①（6分）
显然，方程①的△＞0．设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则有y1+y2=-

6m

3m2+4

，y1y2 =-

9

3m2+4

．（8分）
由△APQ的面积S=

18 2

7

=

1

2

|AF|•|y1-y2|
=

3

2

36m2 (3m2+4)2 + 36 3m2+4

，解得：m=±1．
∴直线PQ 方程为x=±y+1，
即x+y-1=0或x-y-1=0．（10分）
解法二：|PQ|=

(m2+1)(y1-y2)2

=

(m2+1)[ 36m2 (3m2+4)2 + 36 3m2+4 ]

=12

(m2+1)2 (3m2+4)2

=12×

m2+1

3m2+4

．（6分）
点A到直线PQ的距离d=

|-2-1|

1+m2

=

3

1+m2

，（8分）
由△APQ的面积S=

18 2

7

=

1

2

|PQ|•d=•12•

m2+1

3m2+4

•

3

m2+1

，解得m=±1．
∴直线PQ方程为x=±y+1，即x+y-1=0或x-y-1=0．（10分）
（Ⅲ）设P的坐标（（x₀，y₀），
则

x 2 0

4

+

y 2 0

3

=1，∴

y

2 0

=3-

3

4

x

2 0

，
∴

OP

•

FP

=（x₀，y₀）•（x₀-1，y₀）=x02-x0+y02
=

1

4

x

2 0

-x0+3=

1

4

(x0-2)2+2，（12分）
∵-2＜x₀＜2，∴

OP

•

FP

的范围为（2，6）．（14分）
（注：以上解答题其他解法相应给分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，考查向量的数量积的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．