题目内容
已知某年级1000名学生的百米跑成绩全部介于13秒与18秒之间，为了了解学生的百米跑成绩情况，随机抽取了若干学生的百米跑成绩，并按如下方式分成五组：第一组[13，14）；第二组[14，15）；…；第五组[17，18]．按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右的前3个组的频率之比为1：4：10，且第二组的频数为8．（Ⅰ）请估计该年级学生中百米跑成绩在[16，17）内的人数；
（Ⅱ）求调查中随机抽取了多少个学生的百米成绩；
（Ⅲ）若从第一和第五组所有成绩中随机取出2个，求这2个成绩差的绝对值大于1秒的概率．
考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率,频率分布直方图
专题：概率与统计
分析：（Ⅰ）先求出百米成绩在[16，17）内的频率，再用频率乘以样本容量，可得该年段学生中百米成绩在[16，17）内的人数．
（Ⅱ）设图中从左到右前3个组的频率分别为x，4x，10x 依题意，根据各组的频率之和等于1，求得x的值．设调查中随机抽取了n 个学生的百米成绩，则4×0.04=
，求得n的值．
（Ⅲ）百米成绩在第一组的学生数有2人，记他们的成绩为a，b，百米成绩在第五组的学生数有4人，记他们的成绩为m，n，p，q，则从第一、五组中随机取出两个成绩包含的基本事件有15个，其中满足条件的基本事件有8个，由此求得所求事件的概率．
（Ⅱ）设图中从左到右前3个组的频率分别为x，4x，10x 依题意，根据各组的频率之和等于1，求得x的值．设调查中随机抽取了n 个学生的百米成绩，则4×0.04=
| 8 |
| n |
（Ⅲ）百米成绩在第一组的学生数有2人，记他们的成绩为a，b，百米成绩在第五组的学生数有4人，记他们的成绩为m，n，p，q，则从第一、五组中随机取出两个成绩包含的基本事件有15个，其中满足条件的基本事件有8个，由此求得所求事件的概率．
解答：
解：（Ⅰ）百米成绩在[16，17）内的频率为0.32×1=0.32，0.32×1000=320，
∴估计该年段学生中百米成绩在[16，17）内的人数为320人．
（Ⅱ）设图中从左到右前3个组的频率分别为x，4x，10x 依题意，
得 x+4x+10x+0.32×1+0.08×1=1，∴x=0.04．
设调查中随机抽取了n 个学生的百米成绩，则4×0.04=
∴n=50
∴调查中随机抽取了50个学生的百米成绩．
（Ⅲ）百米成绩在第一组的学生数有1×0.04×1×50=2，记他们的成绩为a，b
百米成绩在第五组的学生数有0.08×1×50=4，记他们的成绩为m，n，p，q
则从第一、五组中随机取出两个成绩包含的基本事件有
{a，b}，{a，m}，{a，n}，{a，p}，{a，q}，{b，m}，{b，n}，{b，p}，{b，q}，{m，n}，{m，p}，{m，q}，{n，p}，{n，q}，{p，q}，共15个．
设事件A为满足成绩的差的绝对值大于1秒，则事件A所包含的基本事件有{a，m}，{a，n}，{a，p}，
{a，q}，{b，m}，{b，n}，{b，p}，{b，q}，共8个，
所以P（A ）=
．
∴估计该年段学生中百米成绩在[16，17）内的人数为320人．
（Ⅱ）设图中从左到右前3个组的频率分别为x，4x，10x 依题意，
得 x+4x+10x+0.32×1+0.08×1=1，∴x=0.04．
设调查中随机抽取了n 个学生的百米成绩，则4×0.04=
| 8 |
| n |
∴调查中随机抽取了50个学生的百米成绩．
（Ⅲ）百米成绩在第一组的学生数有1×0.04×1×50=2，记他们的成绩为a，b
百米成绩在第五组的学生数有0.08×1×50=4，记他们的成绩为m，n，p，q
则从第一、五组中随机取出两个成绩包含的基本事件有
{a，b}，{a，m}，{a，n}，{a，p}，{a，q}，{b，m}，{b，n}，{b，p}，{b，q}，{m，n}，{m，p}，{m，q}，{n，p}，{n，q}，{p，q}，共15个．
设事件A为满足成绩的差的绝对值大于1秒，则事件A所包含的基本事件有{a，m}，{a，n}，{a，p}，
{a，q}，{b，m}，{b，n}，{b，p}，{b，q}，共8个，
所以P（A ）=
| 8 |
| 15 |
点评：本试题主要考查样本估计总体，考查古典概型的概率公式，考查频率分布直方图等知识，考查数据处理能力和分析问题、解决问题的能力，属于基础题．
练习册系列答案
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设x、y满足约束条件
，则使z=x+2y取得最大值时的最优解是（ ）
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| A、（0，2） |
| B、（2，0） |
| C、（0，1） |
| D、（1，0） |
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