Question

给出下列四个命题：
①函数y=3^x+3^-x（x＜0）的最小值为2；
②在数列{a_n}中，a₁=1，S_n是前n项和，且满足S_n+1=

1

2

S_n+2，则数列{a_n}是等比数列；
③若f（x+2）+

1

f(x)

=0，则函数y=f（x）是以4为周期的周期函数；
④若函数f（x）=x³+ax²+2的图象关于点（1，0）对称，则a的值为-3，
则正确命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：①利用基本不等式的性质即可判断出；
②在数列{a_n}中，a₁=1，S_n是前n项和，且满足S_n+1=

1

2

S_n+2，则当n≥2时，Sn=

1

2

Sn-1+2，可得an+1=

1

2

an，当n=1时，解得a₂=

3

2

，

a2

a1

=

3

2

≠

1

2

，即可判断出；
③判断f（x+4）=f（x）是否成立即可；
④令f^″（x）=6x+2a=0，函数f（x）的图象关于点（1，0）对称，解出a即可．

解答： 解：①函数y=3^x+3^-x≥2

3x•3-x

，当且仅当x=0时取等号，而x＜0，因此等号不成立，不正确；
②在数列{a_n}中，a₁=1，S_n是前n项和，且满足S_n+1=

1

2

S_n+2，则当n≥2时，Sn=

1

2

Sn-1+2，∴an+1=

1

2

an，当n=1时，a₁+a₂=

1

2

a1+2，解得a₂=

3

2

，

a2

a1

=

3

2

≠

1

2

，因此数列{a_n}不是等比数列，不正确；
③若f（x+2）+

1

f(x)

=0，则函数f（x+4）=-

1

f(x+2)

=f（x），∴y=f（x）是以4为周期的周期函数，正确；
④若函数f（x）=x³+ax²+2，f′（x）=3x²+2ax，f^″（x）=6x+2a=0，∵函数f（x）的图象关于点（1，0）对称，则6+2a=0，解得a=-3，正确．
则正确命题的序号是③④．
故答案为：③④．

点评：本题综合考查了基本不等式的性质、等比数列的定义及其递推式的应用、函数的周期性、三次函数的中心对称性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．