Question

证明：
（1）tan

α

2

=

sinα

1+cosα

=

1-cosα

sinα

．
（2）sinαcosβ=

1

2

[sin(α+β)+sin(α-β)]．
（3）cosα+cosβ=2cos

α+β

2

cos

α-β

2

．

Answer 1

考点：三角函数的和差化积公式

专题：三角函数的求值

分析：（1）利用三角函数的倍角公式从等式的右边入手证明；
（2）利用两角和差的三角函数公式从右边入手证明；
（3）利用角的等价变换，其中α=

α+β

2

+

α-β

2

，β=

α+β

2

-

α-β

2

，然后利用两角和与差的三角函数公式展开整理可得．

解答： 证明：（1）

sinα

1+cosα

=

2sin α 2 cos α 2

2cos2 α 2

=tan

α

2

；

1-cosα

sinα

=

2sin2 α 2

2sin α 2 cos α 2

=tan

α

2

；
所以tan

α

2

=

sinα

1+cosα

=

1-cosα

sinα

．
（2）右边=

1

2

[sinαcosβ+cosαsinβ+sinαcosβ-cosαsinβ]=

1

2

×2sinαcosβ=sinαcosβ=右边；
（3）因为α=

α+β

2

+

α-β

2

，β=

α+β

2

-

α-β

2

，
所以左边=cos（

α+β

2

+

α-β

2

）+cos（

α+β

2

-

α-β

2

）=cos

α+β

2

cos

α-β

2

-sin

α+β

2

sin

α-β

2

+cos

α+β

2

cos

α-β

2

+sin

α+β

2

sin

α-β

2

=2cos

α+β

2

cos

α-β

2

=右边．

点评：本题考查了三角恒等式的证明，用到了倍角公式、两角和与差的三角函数公式以及角的等价变换，属于基础题．