Question

对于函数f（x）=log₂x在其定义域内任意的x₁，x₂且x₁≠x₂，有如下结论：
①f（x₁+x₂）=f（x₁）•f（x₂）；
②f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）；
③

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0；
④f（

x1+x2

2

）＜

f(x1)+f(x2)

2

．
上述结论中正确结论的序号是

 

．

Answer 1

考点：对数的运算性质

专题：函数的性质及应用

分析：利用对数的基本运算性质进行检验：①f（x₁+x₂）=lg（x₁+x₂）≠f（x₁）f（x₂）=log₂x₁•log₂x₂，②f（x₁•x₂）=log₂x₁x₂=log₂x₁+log₂x₂=f（x₁）+f（x₂）③f（x）=log₂x在（0，+∞）单调递增，④根据对数的运算法则和基本不等式即可得到．

解答： 解：①当x₁=1，x₂=1时，f（x₁+x₂）=f（2）=log₂2，f（x₁）•f（x₂）=log₂1•log₂1=0，∴①错误；
②f（x₁•x₂）=log₂（x₁•x₂）=log₂x₁+log₂x₂=f（x₁）+f（x₂），∴②正确．
③f（x）=log₂x在（0，+∞）单调递增，则对任意的0＜x₁＜x₂，都有f（x₁）＜f（x₂）即

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0；∴③正确
④f（

x1+x2

2

）=log₂

x1+x2

2

，

f(x1)+f(x2)

2

=

1

2

（log₂x₁+log₂x₂）=

1

2

log2 x1x2
∵

x1+x2

2

≥

x1•x2

，
∴log₂

x1+x2

2

≥

1

2

log2 x1x2，∴④错误．
故答案为：②③

点评：本题主要考查了对数的基本运算性质，对数函数单调性的应用，基本不等式的应用，属于知识的简单综合应用